最近在做交叉熵的魔改，所以需要好好了解下交叉熵，遂有此文。

关于交叉熵的定义请自行百度，相信点进来的你对其基本概念不陌生。

本文将结合PyTorch，介绍离散形式的交叉熵在二分类以及多分类中的应用。注意，本文出现的二分类交叉熵和多分类交叉熵，本质上都是一个东西，二分类交叉熵可以看作是多分类交叉熵的一个特例，只不过在PyTorch中对应方法的实现方式不同（不同之处将在正文详细讲解）。

好了，废话少叙，正文开始~

二分类交叉熵

$$L=-\frac1N \sum_{i=1}^{N}[y_ilog(p_i)+(1-y_i)log(1-p_i)]$$
其中，$N$是总样本数，$y_i$是第$i$个样本的所属类别，$p_i$是第$i$个样本的预测值，一般来说，它是一个概率值。

上栗子：

. $y_i$ $p_i$
第1个样本 1 0.8
第1个样本 0 0.2
第1个样本 0 0.4

按照上面的公式，交叉熵计算如下：
$$L=\frac13[(1*log0.8+(1-1)log(1-0.8))+(0log0.2+(1-0)log(1-0.2))+(0log0.4+(1-0)*log(1-0.4))]=0.319$$
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其实，在PyTorch中已经内置了BCELoss，它的主要用途是计算二分类问题的交叉熵，我们可以调用该方法，并将结果与上面手动计算的结果做个比较：
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嗯，结果是一致的。

需要注意的是，输入BCELoss中的预测值应该是个概率$p_i$。

上面的栗子直接给出了预测的$p_i$，这是符合要求的。但在更一般的二分类问题中，网络的输出取值是整个实数域(可正可负可为0)。

为了由这种输出值得到对应的$p_i$，你可以在网络的输出层之后新加一个Sigmoid层，这样便可以将输出值的取值规范到0和1之间，这就是交叉熵公式中的$p_i$。

当然，你也可以不更改网络输出，而是在将输出值送入交叉熵公式进行性计算之前，手动用Simgmoid函数做一个映射。

在PyTorch中，甚至提供了BCEWithLogitsLoss方法，它可以直接将输入的值规范到0和1 之间，相当于将Sigmoid和BCELoss集成在了一个方法中。

还是举个栗子来具体进行说明：假设pred是shape为[4,2]的tensor，其中4代表样本个数，2代表该样本分别属于两个类别的概率（前提是规范到了0和1之间，否则就是两个实数域上的值，记住，现在我们讨论的是二分类）；target是shape为[4]的tensor，4即样本数。

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pred=torch.randn(4,2)#预测值
target=torch.rand(4).random_(0,2)#真实类别标签

在使用任何一种方法之前，都需要先对target做独热编码，否则target和pred维度不匹配：

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#将target进行独热编码
onehot_target=torch.eye(2)[target.long(), :]

在做编码前，target看起来长这样：

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tensor([0., 1., 1., 1.])

编码后，target变成了这样：

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tensor([[1., 0.],
        [0., 1.],
        [0., 1.],
        [0., 1.]])

现在，target的shape也是[4,2]了，和pred的shape一样，所以下面可以开始计算交叉熵了。

  • 使用Sigmoid和BCELoss计算交叉熵 先使用nn.Sigmoid做一下映射：
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    可以看到，映射后的取值已经被规范到了0和1之间。 然后使用BCELoss进行计算：
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  • 只使用BCELossWithLogits计算交叉熵
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两种方法的计算结果完全一致。不过官方建议使用BCELossWithLogits，理由是能够提升数值计算稳定性。

以后，当你使用PyTorch内置的二分类交叉熵损失函数时，只要保证输入的预测值和真实标签的维度一致（N,…），且输入的预测值是一个概率即可。满足这两点，一般就能避免常见的错误了。
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(BCELoss的使用)

关于二分类交叉熵的介绍就到这里，接下来介绍多分类交叉熵。

多分类交叉熵

$$L=-{\frac1N} {\sum_{i=1}^{N}} {\sum_{c=1}^{K}} y_{ic}log(p_{ic})$$
其中，N代表样本数，K代表类别数，$p_{ic}$代表第i个样本属于类别c的概率，$\sum_{c=1}^{K}p_{ic}=1,i=1,2,…,N$，$y_{ic}\in {0,1}$，可以看作一个one-hot编码（若第i个样本属于类别c，则对应位置的$y_ic$取1，否则取0）。

这个公式乍看上去有点复杂，其实不难。不妨取第$i$个样本，计算这个样本的交叉熵，公式如下：
$$L_i=\sum_{c=1}^{K}y_{ic}log(p_{ic})$$

假设N=2, K=3，即总共3个样本，3个类别，样本的数据如下

|. | $y_{i1}$| $y_{i2}$ |$y_{i3}$|$p_{i1}$|$p_{i2}$|$p_{i3}$|
| :——–: | :——–:| :——: |:——:|
| 第1个样本 | 0| 1 |0|0.2|0.3|0.5
| 第2个样本 | 1| 0 |0|0.3|0.2|0.5
| 第3个样本 | 0| 0 |1|0.4|0.4|0.2

$$L_1=0log(0.2)+1log(0.3)+0log(0.5)=-1.2039$$
$$L_2=1log(0.3)+0log(0.2)+0log(0.5)=-1.2039$$
$$L_3=0log(0.4)+0log(0.4)+0*log(0.2)=-1.6094$$

看吧，最终的交叉熵只不过是做了N这样的计算，然后平均一下，加个负号：
$$L=-\frac13(L_1+L_2+L_3)=1.3391$$

你可能已经发现，这里的$p_{ic},c=1,2,3$之和为1。没错，这是网络的输出做了softmax后得到的结果。在上一部分关于二分类的问题中，输入交叉熵公式的网络预测值必须经过Sigmoid进行映射，而在这里的多分类问题中，需要将Sigmoid替换成Softmax，这是两者的一个重要区别！

现在让我们用代码来实现上面的计算过程：

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#预测值，假设已做softmax
pred=torch.tensor([[0.2,0.3,0.5],[0.3,0.2,0.5],[0.4,0.4,0.2]])
#真实类别标签
target=torch.tensor([1,0,2])
# 对真实类别标签做 独热编码
one_hot = F.one_hot(target).float()
"""
one_hot:
tensor([[0., 1., 0.],
        [1., 0., 0.],
        [0., 0., 1.]])
"""
#对预测值取log
log=torch.log(pred)
#计算最终的结果
res=-torch.sum(one_hot*log)/target.shape[0]
print(res)# tensor(1.3391)

这和我们之前手动计算的结果是一样的。代码很简单，只需注意代码中的one_hot*log是逐元素做乘法。

以上是其内部实现原理。在实际使用时，为了方便，PyTorch已经封装好了以上过程，你只需要调用一下相应的方法或函数即可。

在PyTorch中，有一个叫做nll_loss的函数，可以帮助我们更快的实现上述计算，此时无需对target进行独热编码，于是代码可简化如下：

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import torch.nn.functional as F
#预测值，已做softmax
pred=torch.tensor([[0.2,0.3,0.5],[0.3,0.2,0.5],[0.4,0.4,0.2]])
#真实类别标签,此时无需再做one_hot，因为nll_loss会自动做
target=torch.tensor([1,0,2])
#对预测值取log
log=torch.log(pred)
#计算最终的结果
res=F.nll_loss(log, target)
print(res)# tensor(1.3391)

等等，还没完。在PyTorch中，最常用于多分类问题的，是CrossEntropyLoss.

它可以看作是softmax+log+nll_loss的集成。

上面的栗子中的预测值是已经做完softmax之后的，为了说明CrossEntropyLoss的原理，我们换一个预测值没有做过softmax的新栗子，这种栗子也是我们通常会遇到的情况：

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#4个样本，3分类
pred=torch.rand(4,3)
#真实类别标签
target=torch.tensor([0,1,0,2])

先按照softmax+log+nll_loss的步骤走一遍：

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logsoftmax=F.log_softmax(pred)
"""
logsoftmax:

tensor([[-0.8766, -1.4375, -1.0605],
        [-1.0188, -0.9754, -1.3397],
        [-0.8926, -1.0962, -1.3615],
        [-1.0364, -0.8817, -1.4645]])
"""
res=F.nll_loss(logsoftmax,target)
pritnt(res)#tensor(1.0523)

直接使用CrossEntropyLoss:

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res=F.cross_entropy(pred, target)
print(res)#tensor(1.0523)

结果是一样的。

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(CrossEntropyLoss的使用)

参考：